Отрезок АВ не пересекает плоскость α. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α и пересекающие ее в точках A1 и B1 соответственно. Найдите АВ, если А1В1 = 12 см, АА1 = 6 см, ВВ1 = 11 см.

Рассмотрим задачу геометрически. У нас есть отрезок $AB$, который не пересекает плоскость $\alpha$. Прямые, проведенные через точки $A$ и $B$ и перпендикулярные к плоскости $\alpha$, пересекают эту плоскость в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. Известно, что расстояние $A_1 B_1 = 12$ см, а также расстояния $AA_1 = 6$ см и $BB_1 = 11$ см.

Чтобы найти длину отрезка $AB$, можно применить теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном точками $A, B, A_1$ и $B_1$. Заметим, что прямые, перпендикулярные плоскости, создают прямые углы с плоскостью $\alpha$, поэтому треугольники $A A_1 B_1$ и $B B_1 A_1$ являются прямоугольными.

В этом случае, длина отрезка $AB$ может быть найдена как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $A_1B_1$, $AA_1$, и $BB_1$. Так как прямые перпендикулярны плоскости, то находим:

Подставляем известные значения:

Таким образом, длина отрезка $AB$ примерно равна 20.81 см.