В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки 20 см и 15 см. Найдите периметр этого треугольника.

В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на два отрезка, длины которых составляют 20 см и 15 см. Эти два отрезка будут являться частями гипотенузы, разделённой биссектрисой.

Обозначим вершины треугольника как $A$, $B$ и $C$, где угол $A$ прямой. Биссектриса угла $A$ будет делить гипотенузу $BC$ на отрезки $BD = 20$ см и $CD = 15$ см. Таким образом, гипотенуза $BC = 20 + 15 = 35$ см.

Сначала используем теорему о биссектрисе угла в треугольнике, которая гласит, что биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки, длины которых пропорциональны длинам катетов. Пусть $a$ и $b$ — длины катетов треугольника, а $c$ — длина гипотенузы. Тогда для биссектрисы прямого угла выполняется следующее соотношение:

Подставим известные значения:

Упростим:

Таким образом, катеты $a$ и $b$ находятся в отношении 4:3. Пусть $a = 4k$, $b = 3k$, где $k$ — некоторый коэффициент пропорциональности.

Используя теорему Пифагора, можем выразить гипотенузу $c$:

Таким образом, $c = 5k$. Но мы знаем, что $c = 35$ см (длина гипотенузы). Следовательно:

Теперь можем найти длины катетов:

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:

Ответ: периметр треугольника равен 84 см.