На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ — прямой. Отрезок ВС — диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны.

Дано, что угол $\angle AOB = 90^\circ$, где точки A и B лежат на окружности с центром O. Также известно, что отрезок BC — диаметр этой окружности.

1. Поскольку $\angle AOB = 90^\circ$, то точка C находится на окружности, а отрезок BC является диаметром окружности. В результате, по теореме о прямом угле, угол $\angle ABC = 90^\circ$. Это значит, что треугольник ABC — прямоугольный.

2. Отрезок BC является диаметром, и, следовательно, радиус окружности, соединяющий центр O с любыми точками на окружности, одинаков. Таким образом, $OB = OC = R$, где R — радиус окружности.

3. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Мы знаем, что $\angle ABC = 90^\circ$, и что отрезки $OB = OC = R$.

4. Мы можем применить теорему Пифагора для треугольника $\triangle ABC$:

   $$AB^2 + BC^2 = AC^2$$

5. Так как BC — диаметр окружности, то $BC = 2R$.

6. Подставим в теорему Пифагора $BC = 2R$:

   $$AB^2 + (2R)^2 = AC^2$$ $$AB^2 + 4R^2 = AC^2$$

7. Так как $\angle AOB = 90^\circ$, то из геометрии окружности можно утверждать, что хорда AB — это прямой угол, то есть длина хорды AB равна длине хорды AC. Следовательно, $AB = AC$.

Таким образом, хорды $AB$ и $AC$ равны.