Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с двумя его ребрами, выходящими из одной вершины, равные углы. Докажите, что две грани параллелепипеда — квадраты.

Чтобы доказать, что две грани прямоугольного параллелепипеда — квадраты, рассмотрим параллелепипед с координатами его вершин. Пусть его ребра выходят из одной вершины и направлены по осям $x$, $y$ и $z$.

Обозначим длины этих ребер как $a$, $b$ и $c$. Диагональ параллелепипеда, проходящая от одной вершины до противоположной, будет иметь длину $d$, и можно выразить её через теорему Пифагора как:

Допустим, диагональ образует равные углы с двумя ребрами, выходящими из одной вершины. Это означает, что угол между диагональю и каждым из этих ребер одинаков. Пусть это будут углы с ребрами, направленными по осям $x$ и $y$.

Для угла между диагональю и ребром, например, по оси $x$, косинус угла можно выразить через скалярное произведение векторов диагонали и ребра. Вектор диагонали будет иметь координаты $(a, b, c)$, а вектор ребра, скажем, по оси $x$, будет $(a, 0, 0)$. Косинус угла между ними равен:

Аналогично, для угла с ребром по оси $y$ получим:

Поскольку углы одинаковы, то и косинусы этих углов равны. Следовательно, получаем равенство:

Это уравнение упрощается до:

Аналогично можно доказать, что $a = c$ или $b = c$, в зависимости от выбора углов. Таким образом, все три ребра прямоугольного параллелепипеда равны, и параллелепипед становится кубом.

Грани куба — это квадраты, что и требовалось доказать.