Два угла треугольника равны 45° и 120°, а сторона, лежащая против меньшего из них, равна 8. Найдите сторону треугольника, лежащую против большего из данных углов. Выполните рисунок к задаче и запишите подробное решение.

Рассмотрим задачу.

Дано:

• Углы треугольника: $45^\circ$, $120^\circ$ и третий угол (который найдем).
• Сторона, лежащая против угла $45^\circ$, равна 8.

Нам нужно найти сторону, лежащую против угла $120^\circ$.

Шаг 1: Найдем третий угол треугольника

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Зная два угла, можем найти третий угол:

Таким образом, третий угол равен $15^\circ$.

Шаг 2: Применим теорему синусов

Теорема синусов гласит, что отношения сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны:

где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — противолежащие углы.

В нашем случае:

• $\alpha = 15^\circ$, сторона против этого угла — это $a$;
• $\beta = 45^\circ$, сторона против этого угла — это 8 (из условия);
• $\gamma = 120^\circ$, сторона против этого угла — это та сторона, которую мы ищем, обозначим её $c$.

Запишем соотношение для известной стороны:

Шаг 3: Подставим значения синусов

Зная значения синусов для углов $45^\circ$ и $120^\circ$, можем их подставить:

Получаем уравнение:

Шаг 4: Решим уравнение

Упростим обе части уравнения:

Теперь решим уравнение относительно $c$:

Умножим обе части на $\sqrt{3}$