Площадь прямоугольного треугольника равна 882√3. Один из острых углов равен 30°. Найти гипотенузу.

Для нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника, если его площадь равна $882\sqrt{3}$ и один из острых углов равен 30°, можно воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через катеты $a$ и $b$ по формуле:

Из условия задачи известно, что $S = 882\sqrt{3}$, следовательно:

Отсюда:

Далее, зная, что один из острых углов прямоугольного треугольника равен 30°, мы можем использовать тригонометрические функции. Пусть угол $\alpha = 30^\circ$, тогда для катетов справедливы следующие соотношения:

Здесь $c$ — гипотенуза треугольника. Подставим эти выражения для $a$ и $b$ в уравнение для произведения катетов:

Упростим это уравнение:

Теперь разделим обе стороны на $\sqrt{3}$:

Умножим обе стороны на 4:

Теперь извлечем квадратный корень из обеих сторон:

Таким образом, гипотенуза треугольника равна 84.