Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины конуса его пересекает плоскость, параллельная основанию. Чему равен объем большего конуса, если объем меньшего равен 24 см³?

Для решения этой задачи нужно применить свойство конусов и их объемов при сечении плоскостью, параллельной основанию.

1. Объем конуса:

   Формула объема конуса:

   $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

   где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота конуса.

2. Соотношение между объемами конусов:

   Когда конус пересекается плоскостью, параллельной его основанию, образуются два конуса: меньший и больший. Высота меньшего конуса (который образуется сечением) будет равна $h_{\text{м}} = 2$ см (так как от вершины до плоскости, которая сечет конус, расстояние 2 см, а общая высота конуса — 5 см).

   Радиус основания меньшего конуса и большего связаны пропорционально высотам этих конусов. Так как высоты конусов $h_{\text{м}}$ и $h_{\text{б}}$ пропорциональны, то также пропорциональны их радиусы $r_{\text{м}}$ и $r_{\text{б}}$:

   $$\frac{r_{\text{м}}}{r_{\text{б}}} = \frac{h_{\text{м}}}{h_{\text{б}}} = \frac{2}{5}$$

3. Объем меньшего конуса:

   Объем меньшего конуса $V_{\text{м}}$ равен 24 см³, и этот объем можно выразить через форму для объема конуса:

   $$V_{\text{м}} = \frac{1}{3} \pi r_{\text{м}}^2 h_{\text{м}}$$

   Подставляем $V_{\text{м}} = 24$ см³ и $h_{\text{м}} = 2$ см:

   $$24 = \frac{1}{3} \pi r_{\text{м}}^2 \cdot 2$$

   Решим относительно $r_{\text{м}}^2$:

   $$24 = \frac{2}{3} \pi r_{\text{м}}^2 \quad \Rightarrow \quad r_{\text{м}}^2 = \frac{24 \cdot 3}{2 \pi} = \frac{72}{2 \pi} = \frac{36}{\pi}$$

4. Объем большего конуса:

   Теперь, зная соотношение радиусов и высот, можно найти объем большего конуса. Мы знаем, что объем большего конуса $V_{\text{б}}$ можно выразить как:

   $$V_{\text{б}} = \frac{1}{3} \pi r_{\text{б}}^2 h_{\text{б}}$$

   где $h_{\text{б}} = 5$ см — высота большего конуса. Также, поскольку радиусы конусов пропорциональны их высотам, мы имеем:

   $$r_{\text{б}} = \frac{5}{2} r_{\text{м}}$$

   Подставляем это в формулу для объема большего конуса:

   $$V_{\text{б}} = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{5}{2} r_{\text{м}} \right)^2 \cdot 5 = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{25}{4} r_{\text{м}}^2 \cdot 5$$

   Упростим это выражение:

   $$V_{\text{б}} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{25}{4} \cdot 5 \cdot r_{\text{м}}^2 = \frac{125}{12} \pi r_{\text{м}}^2$$

   Подставим значение $r_{\text{м}}^2 = \frac{36}{\pi}$