Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105 градусов, угол ADB равен 40 градусов. Найдите градусную меру угла BAC.

Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность, и нам даны углы: угол $\angle ABC = 105^\circ$ и угол $\angle ADB = 40^\circ$. Требуется найти угол $\angle BAC$.

Так как четырехугольник вписан в окружность, то противоположные углы в нем суммируются до $180^\circ$. Это свойство называется теоремой о вписанных углах. Давайте рассмотрим это в контексте углов $\angle ABC$ и $\angle ADC$.

1. Из теоремы о противоположных углах вписанного четырехугольника следует, что:

   $$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ.$$

   Подставим известное значение угла $\angle ABC = 105^\circ$:

   $$105^\circ + \angle ADC = 180^\circ.$$

   Отсюда:

   $$\angle ADC = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ.$$

2. Теперь рассмотрим угол $\angle ADB$, который равен $40^\circ$. Он является углом между хордой $AB$ и касательной к окружности в точке $D$. Важно заметить, что угол между хордой и касательной в точке касания равен половине угла между двумя хордными углами, проведенными через эту точку. То есть угол $\angle ADB$ равен половине угла $\angle ABC$, который в свою очередь, является углом, образованным двумя хордными углами, связанными с точкой $B$.

3. Вычислим угол $\angle BAC$, который равен половине угла $\angle ABC$. Так, ответ в