В равнобедренной трапеции диагональ делит тупой угол пополам, большее основание меньше периметра на 25 см, а средняя линия равна 8 см. Определите длину меньшего основания трапеции.

Для решения задачи будем использовать геометрические свойства равнобедренной трапеции и обозначения:

1. Пусть трапеция $ABCD$ имеет основания $AB$ и $CD$, где $AB > CD$, боковые стороны $AD = BC$ и диагонали $AC$ и $BD$.

2. В задаче сказано, что диагональ трапеции делит тупой угол пополам, это важное свойство, которое позволяет нам делать выводы о симметрии трапеции.

3. Средняя линия трапеции равна 8 см, а средняя линия в трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон и равный полусумме оснований:

   $$\frac{AB + CD}{2} = 8 \Rightarrow AB + CD = 16.$$

4. Также известно, что большее основание на 25 см меньше периметра трапеции. Периметр трапеции равен сумме всех её сторон:

   $$P = AB + CD + 2AD.$$

   Таким образом, условие задачи можно записать как:

   $$AB = P - 25.$$

5. Периметр можно выразить через известные данные:

   $$P = AB + CD + 2AD = (AB + CD) + 2AD = 16 + 2AD.$$

   Подставим это выражение в уравнение для $AB$:

   $$AB = (16 + 2AD) - 25 \Rightarrow AB = 2AD - 9.$$

6. В равнобедренной трапеции, где диагональ делит тупой угол пополам, можно использовать свойства симметрии, чтобы выразить боковую сторону $AD$. Но для упрощения задачи мы примем, что боковые стороны $AD = BC$, и после подставления получим систему уравнений, которая приведет к решению.