Найдите угол между медианой и высотой треугольника АВС, проведённых из вершины прямого угла В, если угол А равен 38 градусов.

Ответ: $14^\circ$.

Разбор. Пусть $\triangle ABC$ прямоугольный при $B$, $\angle A=38^\circ$, значит $\angle C=52^\circ$. Разместим треугольник в координатах: $B=(0,0)$, $A=(a,0)$, $C=(0,c)$ (оси совпадают с катетами). Тогда:

• Гипотенуза — прямая $AC$.

• Высота из $B$ на $AC$ перпендикулярна $AC$. Вектор, перпендикулярный $AC$, пропорционален $(c,a)$, значит направление высоты — $\vec h=(c,a)$.

• Медиана из $B$ к $AC$ идёт в середину гипотенузы $M\!\left(\tfrac a2,\tfrac c2\right)$, значит её направляющий вектор $\vec m=\left(\tfrac a2,\tfrac c2\right)$.

Косинус угла $\theta$ между медианой и высотой:

Так как треугольник прямоугольный, $\tan A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac ca$. Обозначим $t=\tan A=\dfrac ca$. Тогда

Следовательно,

Подставляем $A=38^\circ$:

Иными словами, угол между медианой и высотой из вершины прямого угла равен $|\angle C-\angle A|=14^\circ$.