Верно ли это утверждение? "Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой."

Короткий ответ: да, в евклидовой геометрии это верно — через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, перпендикулярную этой прямой.

Почему существует. Возьмём точку $P$ вне прямой $l$. Проведём окружность с центром в $P$, пусть она пересекает $l$ в точках $A$ и $B$. Тогда середина отрезка $AB$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, а сам серединный перпендикуляр проходит через $P$. Из школьного факта о хордах/сторонах следует: серединный перпендикуляр к $AB$ перпендикулярен прямой $l$ (потому что $A,B\in l$). Значит, перпендикуляр существует.

Почему он единственный. Предположим, что через $P$ к $l$ можно провести два разных перпендикуляра $m$ и $n$. Оба образуют со $l$ прямой угол. Тогда $m$ и $n$ обе «под одним и тем же углом» к $l$, то есть обе параллельны друг другу (две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой). Но две разные параллельные прямые не могут проходить через одну и ту же точку $P$ — это возможно только если они совпадают. Противоречие; значит, перпендикуляр через $P$ единственен.

Замечание. Утверждение относится к обычной плоской (евклидовой) геометрии. В других геометриях (например, на сфере или в таксометровой метрике) аналогичное свойство может не выполняться.