Найти боковую сторону равнобедренного треугольника, если его высота равна 8, а угол при основании равен 30°.

Для нахождения боковой стороны равнобедренного треугольника, зная высоту и угол при основании, можно воспользоваться тригонометрией.

1. Обозначим данные:

   • Высота треугольника (h) = 8.
   • Угол при основании (α) = 30°.

2. Построение треугольника: Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC (боковые стороны), а BC – основание. Высота h опущена из вершины A на основание BC и делит его пополам. Обозначим точку пересечения высоты с основанием как D. Таким образом, BD = DC.

3. Угол при основании: Угол при основании α равен 30°. Угол BAD также будет равен 30°, так как AD – высота и делит угол пополам.

4. Использование тригонометрии: В треугольнике ABD, который является прямоугольным (угол ADB = 90°), можем воспользоваться тангенсом:

   $$\tan(α) = \frac{h}{BD}$$

   Подставляем известные значения:

   $$\tan(30°) = \frac{8}{BD}$$

   Зная, что $\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, уравнение можно переписать:

   $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{8}{BD}$$

5. Решение уравнения: Перемножаем:

   $$BD = 8 \cdot \sqrt{3}$$

6. Находим боковую сторону: Теперь, чтобы найти боковую сторону AB (или AC), мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике ABD:

   $$AB^2 = AD^2 + BD^2$$

   Подставляем известные значения:

   $$AB^2 = 8^2 + (8\sqrt{3})^2$$ $$AB^2 = 64 + 192 = 256$$

   Таким образом:

   $$AB = \sqrt{256} = 16$$

Итак, боковая сторона равнобедренного треугольника равна 16.