Сторона квадрата, вписанного в окружность, равна a см. Найдите площадь правильного треугольника, описанного около данной окружности.

Для того чтобы найти площадь правильного треугольника, описанного около окружности, в которую вписан квадрат, нам нужно сначала связать сторону квадрата с радиусом окружности и использовать это для нахождения стороны треугольника.

1. Рассчитаем радиус окружности.

   Пусть сторона квадрата равна $a$ см. Квадрат вписан в окружность, значит, его диагональ является диаметром этой окружности. Диагональ квадрата можно найти по формуле:

   $$d = a\sqrt{2}$$

   Поскольку диагональ квадрата является диаметром окружности, радиус $R$ окружности равен половине диагонали:

   $$R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$$

2. Найдем сторону правильного треугольника, описанного около окружности.

   В правильном треугольнике, описанном около окружности, радиус окружности является расстоянием от центра окружности до середины каждой из сторон треугольника. Для правильного треугольника радиус окружности связан с его стороной $s$ через формулу:

   $$R = \frac{s}{\sqrt{3}}$$

   Из этого можно выразить сторону треугольника:

   $$s = R \cdot \sqrt{3}$$

   Подставим значение радиуса $R = \frac{a}{\sqrt{2}}$:

   $$s = \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$

3. Теперь найдем площадь правильного треугольника.

   Площадь $S$ правильного треугольника можно найти по формуле:

   $$S = \frac{s^2 \sqrt{3}}{4}$$

   Подставим значение стороны $s = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$:

   $$S = \frac{\left( \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \right)^2 \sqrt{3}}{4}$$

   Упростим выражение:

   $$S = \frac{\frac{a^2 \cdot 3}{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{8}$$

Таким образом, площадь правильного треугольника, описанного около окружности, равна $\frac{3a^2 \sqrt{3}}{8}$ квадратных сантиметров.