Гипотенуза равна 16 см, а проекция катета на гипотенузу равна 4 см.
Найдите данный катет.

Чтобы найти длину катета в прямоугольном треугольнике, если известна длина гипотенузы и проекция катета на гипотенузу, можно воспользоваться тригонометрическими соотношениями.

1. Дано:

   • Длина гипотенузы $c = 16$ см
   • Проекция катета на гипотенузу $a' = 4$ см

2. Обозначения:

   • Пусть $a$ — это длина искомого катета.
   • Пусть $\theta$ — угол между гипотенузой и искомым катетом.

3. Связь проекции и длины катета: Проекция катета на гипотенузу определяется как:

   $$a' = a \cdot \cos(\theta)$$

   Мы знаем, что $a' = 4$ см, поэтому:

   $$4 = a \cdot \cos(\theta)$$

4. По теореме Пифагора: Для прямоугольного треугольника выполняется следующее соотношение:

   $$a^2 + b^2 = c^2$$

   где $b$ — другой катет, и в нашем случае:

   $$b = a \cdot \sin(\theta)$$

   Следовательно, теорема Пифагора становится:

   $$a^2 + (a \cdot \sin(\theta))^2 = 16^2$$

5. Подстановка проекции: Из первого уравнения можем выразить $\cos(\theta)$:

   $$\cos(\theta) = \frac{4}{a}$$

   Подставляя это значение в уравнение теоремы Пифагора, получаем:

   $$a^2 + \left( a \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{4}{a}\right)^2} \right)^2 = 256$$

6. Упрощение: Это уравнение можно решить относительно $a$:

   $$a^2 + a^2 \left( 1 - \frac{16}{a^2} \right) = 256$$

   Сократим и упростим:

   $$a^2 + a^2 - 16 = 256 \\ 2a^2 - 16 = 256 \\ 2a^2 = 272 \\ a^2 = 136 \\ a = \sqrt{136} \approx 11.66 \text{ см}$$

7. Ответ: Таким образом, длина данного катета примерно равна $11.66$ см.