В треугольнике АВС АС = 12 см, угол А = 75°, угол С = 60°. Найдите АВ и площадь треугольника АВС.

Ответы на вопрос

Отвечает Шамсутдинова Алина.

Для решения задачи используем теорему синусов и формулу площади треугольника.

1. Найдем сторону AB.

Для начала можно использовать теорему синусов, которая в треугольнике звучит так:

\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}

Заданы стороны и углы:

Первым шагом найдем угол $B$ , так как сумма всех углов в треугольнике равна 180°.

B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ.

Теперь применим теорему синусов для нахождения стороны $AB$ :

\frac{AB}{\sin 60^\circ} = \frac{12}{\sin 45^\circ}

Известно, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , а $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Подставим эти значения:

\frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}}

Упростим:

AB = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 12 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}.

Таким образом, длина стороны $AB$ примерно равна:

AB \approx 12 \cdot 1.2247 \approx 14.76 \, \text{см}.

2. Найдем площадь треугольника.

Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу через две стороны и угол между ними:

S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin A

Подставим известные значения:

S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 14.76 \cdot \sin 75^\circ

Известно, что $\sin 75^\circ \approx 0.9659$ , тогда:

S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 14.76 \cdot 0.9659 \approx \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 14.26 \approx 85.56 \, \text{см}^2.

Итак, длина стороны $AB \approx 14.76 \, \text{см}$ , а площадь треугольника $S \approx 85.56 \, \text{см}^2$ .

Ответы на вопрос