Чему равна площадь треугольника?

Коротко: площадь любого треугольника можно посчитать несколькими эквивалентными формулами — выбирайте ту, для которой у вас есть данные.

Базовая формула через основание и высоту

• $S=\dfrac12\cdot a\cdot h_a$, где $a$ — выбранное основание, $h_a$ — высота к нему.

Через две стороны и угол между ними

• $S=\dfrac12\cdot a\cdot b\cdot \sin\gamma$, где $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$.

Формула Герона (по трём сторонам)

• Полупериметр $p=\dfrac{a+b+c}{2}$.

• $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Через радиусы вписанной и описанной окружностей

• $S=p\cdot r$, где $r$ — радиус вписанной окружности.

• $S=\dfrac{abc}{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности.

Координатная формула (по вершинам $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$)

• $S=\dfrac12\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right|$.

Полезные частные случаи

• Прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$: $S=\dfrac{ab}{2}$.

• Равносторонний со стороной $a$: $S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\,a^2$.

Короткие примеры

1. Стороны $3,4,5$: $p=\frac{3+4+5}{2}=6$; $S=\sqrt{6\cdot3\cdot2\cdot1}=\sqrt{36}=6$.

2. Стороны $7$ и $10$, угол между ними $30^\circ$: $S=\frac12\cdot7\cdot10\cdot\sin30^\circ=\frac12\cdot70\cdot0{,}5=17{,}5$.