Угол параллелограмма равен 120 градусов, стороны относятся как 5:8, а меньшая диагональ равна 14 см. Найдите большую диагональ и площадь параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, причём

Угол между сторонами $120^\circ$.

1) Связь диагоналей со сторонами

Диагонали параллелограмма — это векторы $\vec a+\vec b$ и $\vec a-\vec b$. Поэтому их квадраты длин:

Так как $\cos 120^\circ=-\frac12$, получаем:

При тупом угле ($120^\circ$) меньшей будет диагональ с «минусом», то есть

2) Находим $k$ по условию $d_{\min}=14$

Подставляем $a=5k$, $b=8k$:

Отсюда

Значит, стороны:

3) Большая диагональ

4) Площадь параллелограмма

$\sin120^\circ=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$