Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см, а его боковая сторона — 13 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к основанию.

Для решения задачи, начнем с того, что у нас есть равнобедренный треугольник, периметр которого равен 36 см, а боковая сторона — 13 см.

1. Обозначим основание треугольника как $a$, а боковые стороны — как $b$. Из условия задачи мы знаем, что:

   $$b = 13 \, \text{см}$$

   Периметр треугольника равен сумме всех его сторон, и это 36 см:

   $$2b + a = 36$$

   Подставляем значение $b$:

   $$2 \times 13 + a = 36$$ $$26 + a = 36$$

   Отсюда:

   $$a = 36 - 26 = 10 \, \text{см}$$

   Таким образом, основание треугольника $a = 10 \, \text{см}$.

2. Теперь, чтобы найти медиану, проведенную к основанию, воспользуемся формулой для медианы в равнобедренном треугольнике. Медиана, проведенная к основанию, делит его пополам. Поскольку основание $a = 10 \, \text{см}$, то половина основания будет:

   $$\frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{см}$$

3. Теперь, рассмотрим прямоугольный треугольник, образующийся при проведении медианы. В нем гипотенуза — это боковая сторона треугольника, то есть 13 см, а один катет — это половина основания, то есть 5 см. Необходимо найти длину медианы, которая является другим катетом этого прямоугольного треугольника.

   Для этого используем теорему Пифагора:

   $$m^2 + 5^2 = 13^2$$

   где $m$ — длина медианы. Подставим значения:

   $$m^2 + 25 = 169$$ $$m^2 = 169 - 25 = 144$$ $$m = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}$$

Ответ: длина медианы, проведённой к основанию, равна 12 см.