В треугольник с основанием AC = 7см и высотой BD = 3см вписан квадрат KLMN так, что сторона KN лежит на основании AC, а вершины L и M - соответственно на сторонах AB и BC. Определил длину стороны квадрата.

(Ответ запиши в виде не сокращенной дроби.)

Рассмотрим решение задачи поэтапно.

Дано:

1. Основание треугольника $AC = 7$ см.
2. Высота треугольника $BD = 3$ см.
3. В треугольник вписан квадрат $KLMN$, где сторона $KN$ лежит на основании $AC$, а вершины $L$ и $M$ касаются сторон $AB$ и $BC$ соответственно.

Задача:

Найти длину стороны квадрата. Обозначим её за $x$.

Пошаговое решение:

1. Площадь треугольника $ABC$:

   $$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 3 = \frac{21}{2}$$

2. Рассмотрим вписанный квадрат: Когда квадрат $KLMN$ вписан в треугольник так, что одна его сторона $KN = x$ лежит на основании $AC$, а вершины $L$ и $M$ касаются сторон $AB$ и $BC$, то каждая высота треугольника до соответствующей стороны квадрата уменьшается пропорционально, и мы можем выразить высоту треугольника над стороной квадрата.

3. Высота треугольника, оставшаяся над квадратом: Высота треугольника над квадратом равна $3 - x$, так как верхний отрезок $BD$ уменьшается на длину стороны квадрата, чтобы вместить его.

4. Отношение площадей: Площадь большого треугольника $ABC$ к площади маленького треугольника над квадратом пропорциональна квадрату сторон основания:

   $$\frac{7}{x} = \frac{3}{3 - x}$$

5. Решим это уравнение относительно $x$: Переносим $x$ в левую часть, получаем уравнение

   $$$$