Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 1 и HD = 28. Диагональ параллелограмма BD равна 53. Найдите площадь параллелограмма.

Для решения задачи воспользуемся геометрическими свойствами параллелограмма и теоремой Пифагора.

1. Анализируем условия: В параллелограмме $ABCD$ дана высота $BH$, которая проведена из вершины $B$ к стороне $AD$, и делит её на отрезки $AH = 1$ и $HD = 28$. Из этого следует, что длина всей стороны $AD$ равна

   $$AD = AH + HD = 1 + 28 = 29.$$

   Также известно, что диагональ $BD$ равна $53$.

2. Используем теорему Пифагора: Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$, в котором $BH$ является высотой к стороне $AD$, а $BD$ – гипотенузой. В этом треугольнике $BD = 53$, $HD = 28$, и нужно найти длину высоты $BH$.

   Согласно теореме Пифагора:

   $$BD^2 = BH^2 + HD^2.$$

   Подставим известные значения:

   $$53^2 = BH^2 + 28^2.$$

   Вычислим квадраты:

   $$2809 = BH^2 + 784.$$

   Теперь выразим $BH^2$:

   $$BH^2 = 2809 - 784 = 2025.$$

   Найдём $BH$, взяв корень из 2025:

   $$BH = \sqrt{2025} = 45.$$

3. Вычисляем площадь параллелограмма: Площадь параллелограмма вычисляется по формуле

   $$S = AD \cdot BH.$$

   Подставим значения $AD = 29$ и $BH = 45$:

   $$S = 29 \cdot 45 = 1305.$$

Таким образом, площадь параллелограмма $ABCD$ равна $1305$ квадратных единиц.