в треугольнике авс и дек ав=де,ас=дк,вр=ем где р и м середины сторон ас и дк 1)докажите что треугольник авс равен дек

2)найдите площадь авс если ем=3 см , дк= 4 корней из 2, угол емк= 135 градусов.

Решение

Условие задачи: В треугольниках $ABC$ и $DKC$ известно, что $AB = DE$, $AC = DK$, и точки $P$ и $M$ являются серединами сторон $AC$ и $DK$ соответственно. Нам нужно доказать, что $\triangle ABC \cong \triangle DKC$, а также найти площадь треугольника $ABC$, если $EM = 3$ см, $DK = 4\sqrt{2}$ и $\angle EMK = 135^\circ$.

1) Доказательство равенства треугольников $ABC$ и $DKC$

У нас даны следующие данные:

• $AB = DE$
• $AC = DK$
• $P$ и $M$ — середины сторон $AC$ и $DK$, соответственно.

Чтобы доказать, что треугольники $ABC$ и $DKC$ равны, рассмотрим следующие признаки равенства треугольников.

Признак равенства по двум сторонам и углу между ними

Если в треугольниках $ABC$ и $DKC$ две стороны и угол между ними равны, то эти треугольники равны.

1. Равенство сторон: По условию $AB = DE$ и $AC = DK$.
2. Равенство углов между ними: Поскольку точки $P$ и $M$ — середины сторон $AC$ и $DK$, отрезки $EM$ и $BP$ делят углы пополам или расположены симметрично, а значит, угол между $AB$ и $AC$ равен углу между $DE$ и $DK$.

Таким образом, треугольники $ABC$ и $DKC$ равны по признаку равенства по двум сторонам и углу между ними.

2) Нахождение площади треугольника $ABC$

Теперь, когда мы знаем, что треугольники $ABC$ и $DKC$ равны, достаточно найти площадь одного из них, так как площади равных треугольников тоже равны.

Дано:

• $EM = 3$ см.
• $DK = 4\sqrt{2}$.
• $\angle EMK = 135^\circ$.

Для нахождения площади треугольника $DKC$ (и, соответственно, $ABC$) можно воспользоваться формулой для площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Подставим известные значения:

1. $EM = 3$ см.
2. $DK = 4\sqrt{2}$.
3. $\angle EMK = 135^\circ$.

Синус угла $135^\circ$ равен $\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим все значения в формулу:

Посчитаем шаг за шагом:

1. $4\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \times \frac{2}{2} = 4$.

2. Подставим в формулу для площади:

   $$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \text{ см}^2$$

Ответ:

1. Треугольники $ABC$ и $DKC$ равны.
2. Площадь треугольника $ABC$ равна $6$ см².