Найдите неизвестные стороны и углы прямоугольного треугольника по следующим данным: гипотенуза с - 30см , угол А=30 градусов

Давайте подробно разберём, как найти неизвестные стороны и углы прямоугольного треугольника, если известны гипотенуза $c = 30$ см и угол $A = 30^\circ$.

Шаг 1: Понимание начальных данных

В прямоугольном треугольнике есть:

• угол $A$ (30 градусов),
• гипотенуза $c$ (30 см),
• неизвестные катеты $a$ и $b$,
• угол $B$ (смежный с углом $A$).

Шаг 2: Найдём угол $B$

Так как сумма углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$:

Таким образом, $B = 60^\circ$.

Шаг 3: Используем тригонометрические функции

Теперь можем найти катеты $a$ и $b$ с помощью синуса и косинуса.

1. Найдём катет $a$, прилежащий к углу $A$:

   Применим формулу для косинуса:

   $$\cos A = \frac{a}{c}$$

   Подставим значения:

   $$\cos 30^\circ = \frac{a}{30}$$

   Значение $\cos 30^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$:

   $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{30}$$

   Теперь выразим $a$:

   $$a = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3} \approx 25.98 \, \text{см}$$

2. Найдём катет $b$, противолежащий углу $A$:

   Используем формулу для синуса:

   $$\sin A = \frac{b}{c}$$

   Подставим значения:

   $$\sin 30^\circ = \frac{b}{30}$$

   Значение $\sin 30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$:

   $$\frac{1}{2} = \frac{b}{30}$$

   Выразим $b$:

   $$b = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15 \, \text{см}$$

Результаты

Таким образом, для данного прямоугольного треугольника:

• Катет $a \approx 25.98$ см,
• Катет $b = 15$ см,
• Угол $B = 60^\circ$.

Мы нашли все неизвестные стороны и углы треугольника.