Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением s= -(1/3)t^3+3t^2+15 Найти максимальную скорость этой точки

Чтобы найти максимальную скорость точки при её прямолинейном движении, задачу нужно решить через производные, так как скорость — это первая производная пути $s$ по времени $t$.

Дано уравнение пути:

Шаг 1: Найдём скорость

Скорость $v$ — это производная пути $s$ по времени $t$:

Таким образом, уравнение для скорости:

Шаг 2: Найдём максимальную скорость

Чтобы найти максимальную скорость, необходимо исследовать полученное уравнение на экстремумы. Для этого нужно найти критические точки, где производная скорости по времени равна нулю.

Найдём производную скорости по времени (ускорение):

Приравняем её к нулю, чтобы найти точки, в которых скорость может быть максимальной или минимальной:

Теперь подставим $t = 3$ в уравнение для скорости, чтобы найти значение скорости в этой точке:

Шаг 3: Проверим, что это действительно максимум

Чтобы подтвердить, что это точка максимума, можно использовать второй способ проверки — исследовать знак ускорения слева и справа от точки $t = 3$.

1. Если взять $t < 3$, например $t = 2$, то:

   $$a = -2 \cdot 2 + 6 = 2$$

   Ускорение положительно, значит скорость растёт до $t = 3$.

2. Если взять $t > 3$, например $t = 4$, то:

   $$a = -2 \cdot 4 + 6 = -2$$

   Ускорение отрицательно, значит скорость убывает после $t = 3$.

Таким образом, в точке $t = 3$ скорость действительно достигает максимума.

Ответ

Максимальная скорость этой точки равна $9$ (единиц скорости).