Укажи, при каких значениях x имеет смысл выражение 1/√2x^2−5x+2

Ответы на вопрос

Отвечает Барканов Богдан.

Давайте разберёмся, при каких значениях $x$ выражение

\frac{1}{\sqrt{2x^2 - 5x + 2}}

имеет смысл.

Выражение содержит корень квадратный в знаменателе. Чтобы дробь имела смысл:

Подкоренное выражение должно быть ≥ 0, чтобы корень существовал в реальных числах:

2x^2 - 5x + 2 \ge 0

Подкоренное выражение не должно быть равно 0, так как деление на ноль невозможно:

2x^2 - 5x + 2 \neq 0

Таким образом, нужно найти $x$ , при которых:

2x^2 - 5x + 2 > 0

Сначала решим квадратное уравнение $2x^2 - 5x + 2 = 0$ для нахождения границ:

Используем дискриминант:

D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9

Корни:

x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}

x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2

Квадратное выражение $2x^2 - 5x + 2$ — это парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ положительный).

Значит, оно положительно вне корней и отрицательно между ними:

2x^2 - 5x + 2 > 0 \implies x < \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad x > 2

Выражение имеет смысл для:

\boxed{x \in (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (2, +\infty)}

То есть все значения $x$ меньше $1/2$ и больше $2$ .

Ответы на вопрос