В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна \(4\sqrt{3}\) см, а плоский угол при вершине пирамиды равен \(90^\circ\). Найдите высоту пирамиды.

Давай разберём эту задачу шаг за шагом.

У нас есть правильная треугольная пирамида (т.е. тетраэдр с равносторонним треугольником в основании) со стороной основания $a = 4\sqrt{3}$ см. Угол при вершине пирамиды, плоский угол, равен $90^\circ$. Нам нужно найти высоту пирамиды $h$.

Шаг 1: Найдём высоту треугольного основания

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ высота $h_\text{осн}$ вычисляется по формуле:

Подставим $a = 4\sqrt{3}$:

Шаг 2: Определим, что такое плоский угол при вершине

Плоский угол при вершине тетраэдра — это угол между двумя ребрами, идущими от вершины к основанию. Для правильной треугольной пирамиды эти два ребра сходятся в вершине и соединены с центром основания. Плоский угол равен $90^\circ$, значит, в сечении через вершину и высоту основания образуется прямоугольный треугольник.

Шаг 3: Введём высоту пирамиды

Пусть $h$ — высота пирамиды, опущенная из вершины на плоскость основания. Центр основания $O$ — это центр равностороннего треугольника. Расстояние от вершины треугольника до центра основания (для правильного треугольника) равно $r = \frac{2}{3} h_\text{осн}$:

Шаг 4: Связь через плоский угол

В правильной треугольной пирамиде плоский угол $\theta$ между двумя ребрами, соединяющими вершину $V$ с вершинами основания, удовлетворяет соотношению:

Для $\theta = 90^\circ$, $\cos 90^\circ = 0$. Подставим:

✅ Ответ

Высота пирамиды равна $4\sqrt{2}$ см.

Если хочешь, могу нарисовать небольшую схему, чтобы визуально показать этот прямоугольный треугольник с плоским углом. Это сильно помогает понять, почему именно так считается высота.