В треугольнике ABC проведена прямая BD так, что ∠CBD=∠CAB. Найдите AD и CD, если BC=2 см, AC=4 см.

Давайте рассмотрим треугольник ABC, в котором прямая BD проведена так, что угол CBD равен углу CAB. Это значит, что треугольники ABD и CBD подобны по углам (по критерию равенства углов).

Сначала обозначим некоторые значения для удобства:

• Длина стороны BC равна 2 см.
• Длина стороны AC равна 4 см.
• Обозначим длину отрезка AD как x, а длину отрезка CD как y.

Из подобия треугольников можем записать следующие соотношения:

1. $\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{CD}$
2. $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{BC}$

Также известно, что $AD + CD = AC$, т.е. $x + y = 4$.

Теперь, так как BC = 2 см, а AC = 4 см, подставим в первое уравнение:

$\frac{AB}{x} = \frac{2}{y}$.

Теперь выразим AB через x и y. Перепишем уравнение:

$AB = \frac{2x}{y}$.

Второе соотношение, используя BC = 2 см, будет:

$\frac{AB}{4} = \frac{BD}{2}$.

Отсюда мы можем выразить BD:

$BD = \frac{AB}{2} \cdot 4 = 2AB$.

Теперь у нас есть два уравнения:

1. $AB = \frac{2x}{y}$
2. $BD = 2AB$

Подставляем $AB$ из первого уравнения во второе:

$BD = 2 \cdot \frac{2x}{y} = \frac{4x}{y}$.

Так как мы имеем $x + y = 4$, можем выразить $y$ через $x$:

$y = 4 - x$.

Теперь подставим $y$ в уравнение для BD:

$BD = \frac{4x}{4 - x}$.

Сейчас у нас есть два уравнения, но нужно учитывать также, что BD, как медиана, делит сторону AC на два равных отрезка в треугольнике ABC. Поскольку AC = 4 см, BD будет пересекаться с AC, деля его пополам.

Решая полученные уравнения, можно найти значения x и y. Однако заметим, что для решения данной задачи также можно использовать пропорции. Подобные треугольники сохраняют пропорции между соответствующими сторонами.

В итоге, с помощью подобия треугольников, мы получаем, что:

1. $AD = x$
2. $CD = y$

Соблюдая условие $x + y = 4$ и зная $BC = 2$, можно установить, что:

$x = 2$ и $y = 2$.

Таким образом, получаем:

• Длина отрезка AD равна 2 см.
• Длина отрезка CD также равна 2 см.

Итак, в треугольнике ABC, при заданных условиях, мы нашли, что $AD = 2$ см и $CD = 2$ см.