В треугольнике, стороны которого равны 5 см, 13 см и 12 см, проведена высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону.

Чтобы решить задачу и найти отрезки, на которые высота делит большую сторону треугольника, воспользуемся теоремой Пифагора и свойствами высоты в треугольнике.

1. Определим вид треугольника:
   Длины сторон равны $5$ см, $12$ см и $13$ см. Заметим, что $5^2 + 12^2 = 13^2$, то есть:

   $$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$$

   Следовательно, треугольник с такими сторонами является прямоугольным, где гипотенуза $13$ см, а катеты — $5$ см и $12$ см.

2. Найдем высоту к гипотенузе:
   В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит гипотенузу на два отрезка, которые пропорциональны квадратам катетов. Пусть эти отрезки равны $x$ и $y$, где $x$ — проекция катета $5$ см на гипотенузу, а $y$ — проекция катета $12$ см на гипотенузу. Тогда выполняется соотношение:

   $$\frac{x}{y} = \frac{5^2}{12^2} = \frac{25}{144}$$

   Также известно, что сумма $x + y$ равна длине гипотенузы, то есть:

   $$x + y = 13$$

3. Решим систему уравнений:
   Из пропорции выразим $x$ через $y$:

   $$x = \frac{25}{144} y$$

   Подставим это выражение в уравнение $x + y = 13$:

   $$\frac{25}{144} y + y = 13$$

   Приведем левую часть к общему знаменателю:

   $$\frac{25y + 144y}{144} = 13$$ $$\frac{169y}{144} = 13$$

   Умножим обе части на 144:

   $$169y = 1872$$

   Теперь найдем $y$:

   $$y = \frac{1872}{169} = 11$$

   Подставим значение $y = 11$ в уравнение $x + y = 13$, чтобы найти $x$:

   $$x = 13 - 11 = 2$$

4. Ответ:
   Высота делит гипотенузу длиной $13$ см на два отрезка: $2$ см и $11$ см.