В прямоугольном треугольнике АВС радиус вписанной окружности равен 3 см, гипотененуза АВ=15 см. Найдите АК и ВК.

Пусть \( K \) — точка касания вписанной окружности с гипотенузой \( AB \).

В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности:

\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]

Где \( c = AB = 15 \), \( r = 3 \). Тогда:

\[ 3 = \frac{a + b - 15}{2} \]

\[ a + b = 21 \]

Также по теореме Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = 15^2 = 225 \]

Получаем катеты \( 9 \) см и \( 12 \) см.

Полупериметр:

\[ s = \frac{9 + 12 + 15}{2} = 18 \]

Отрезки гипотенузы от точки касания равны:

\[ AK = s - a, \quad BK = s - b \]

То есть:

\[ AK = 18 - 9 = 9 \]

\[ BK = 18 - 12 = 6 \]

Ответ: \( AK = 9 \) см, \( BK = 6 \) см. Если катеты у вершин \( A \) и \( B \) поменять местами, то эти отрезки тоже поменяются местами.

0 0 Пожаловаться