Плоскость β пересекает стороны МР и КР треугольника МРК соответственно в точках N и Е, причем MK ║ β. Найдите NE, если MK = 12 см и MN : NP = 3 : 5.

Рассмотрим задачу, где плоскость $\beta$ пересекает стороны $МР$ и $КР$ треугольника $МРК$ соответственно в точках $N$ и $Е$. Известно, что $MK \parallel \beta$, $MK = 12$ см, и отношение $MN : NP = 3 : 5$. Необходимо найти длину отрезка $NE$.

Шаги решения:

1. Анализ условия и построение модели: Плоскость $\beta$ пересекает стороны $МР$ и $КР$ в точках $N$ и $E$, а отрезок $MK$ параллелен плоскости $\beta$. Это означает, что проекции отрезков $MK$ и $NE$ на плоскость $\beta$ будут параллельны. В таком случае отрезок $NE$ является гомотетическим образом отрезка $MK$ (они параллельны и лежат в одной плоскости).

2. Использование отношения отрезков: Так как $MK \parallel NE$, то длина отрезка $NE$ пропорциональна длине $MK$ в зависимости от деления отрезка $MP$ в отношении $MN : NP$.

   Давайте обозначим всю длину отрезка $MP$ как $x$. Тогда, согласно заданному условию $MN : NP = 3 : 5$, мы можем выразить $MN$ и $NP$ через $x$:

   $$MN = \frac{3}{3 + 5} \cdot x = \frac{3}{8} x,$$ $$NP = \frac{5}{3 + 5} \cdot x = \frac{5}{8} x.$$

3. Вычисление длины $NE$: Отрезок $NE$ будет соответствовать той же пропорции, что и $MN$ к $MP$, так как $MK \parallel NE$. Следовательно, $NE$ составляет $\frac{3}{8}$ от длины $MK$, так как отношение $MN : MP$ совпадает с отношением $NE : MK$ из-за гомотетичности.

   Таким образом:

   $$NE = \frac{3}{8} \cdot MK = \frac{3}{8} \cdot 12 = 4.5 \text{ см}.$$

Ответ:

Длина отрезка $NE$ равна $4.5$ см.