В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M и N являются серединами сторон BC и A1B1. Найдите косинус угла MC1N

Чтобы найти косинус угла $\angle MC_1N$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $A_1B_1$, используем метод векторного анализа.

Шаг 1. Введем систему координат

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной $a$. Пусть координаты точек будут следующими:

• $A(0, 0, 0)$,
• $B(a, 0, 0)$,
• $C(a, a, 0)$,
• $D(0, a, 0)$,
• $A_1(0, 0, a)$,
• $B_1(a, 0, a)$,
• $C_1(a, a, a)$,
• $D_1(0, a, a)$.

Шаг 2. Найдем координаты точек $M$ и $N$

• Точка $M$ — середина отрезка $BC$. Поскольку координаты $B$ и $C$ равны $(a, 0, 0)$ и $(a, a, 0)$ соответственно, координаты $M$ будут:

  $$M \left(a, \frac{a}{2}, 0\right)$$

• Точка $N$ — середина отрезка $A_1B_1$. Координаты $A_1$ и $B_1$ равны $(0, 0, a)$ и $(a, 0, a)$, так что координаты $N$ будут:

  $$N \left(\frac{a}{2}, 0, a\right)$$

Шаг 3. Найдем векторы $\overrightarrow{MC_1}$ и $\overrightarrow{NC_1}$

Координаты точки $C_1$ — $(a, a, a)$.

1. Вектор $\overrightarrow{MC_1}$ можно найти как разность координат точек $C_1$ и $M$:

   $$\overrightarrow{MC_1} = (a - a, a - \frac{a}{2}, a - 0) = \left(0, \frac{a}{2}, a\right)$$

2. Вектор $\overrightarrow{NC_1}$ находится как разность координат точек $C_1$ и $N$:

   $$\overrightarrow{NC_1} = \left(a - \frac{a}{2}, a - 0, a - a\right) = \left(\frac{a}{2}, a, 0\right)$$

Шаг 4. Найдем скалярное произведение векторов $\overrightarrow{MC_1}$