В треугольнике ABC известно, что угол C = 90°, угол B = 30°. Серединный перпендикуляр отрезка AB пересекает его в точке M, а отрезок BC — в точке K. Докажите, что MK = 1/3 BC.

Пусть \( BC = a \). Так как \(\angle C = 90^\circ\) и \(\angle B = 30^\circ\), то \(\angle A = 60^\circ\).

Введём систему координат: \( C(0,0) \), \( B(a,0) \). Тогда \( AC = BC \cdot \tan 30^\circ = \frac{a}{\sqrt{3}} \), значит \( A(0, \frac{a}{\sqrt{3}}) \).

Середина \( M \) отрезка \( AB \): \( M\left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2\sqrt{3}} \right) \).

Угловой коэффициент прямой \( AB \): \( k_{AB} = \frac{0 - \frac{a}{\sqrt{3}}}{a - 0} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \). Тогда угловой коэффициент серединного перпендикуляра \( k = \sqrt{3} \).

Уравнение серединного перпендикуляра: \( y - \frac{a}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3} \left( x - \frac{a}{2} \right) \).

Точка \( K \) лежит на \( BC \) (ось \( x \), \( y=0 \)). Подставляем \( y=0 \):

\( -\frac{a}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3} \left( x - \frac{a}{2} \right) \)

Решаем: \( \sqrt{3}x = \frac{\sqrt{3}a}{2} - \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a}{2} \left( \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}} \).

Отсюда \( x = \frac{a}{3} \), значит \( K\left( \frac{a}{3}, 0 \right) \).

Длина \( MK = \sqrt{ \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{3} \right)^2 + \left( \frac{a}{2\sqrt{3}} \right)^2 } = \sqrt{ \left( \frac{a}{6} \right)^2 + \frac{a^2}{12} } = a \sqrt{ \frac{1}{36} + \frac{1}{12} } = a \sqrt{ \frac{4}{36} } = \frac{a}{3} \).

Так как \( BC = a \), получаем \( MK = \frac{1}{3} BC \).

0 0 Пожаловаться