В прямоугольной трапеции ABCD (BC ║ AD) ∠A – прямой, BC = a, угол BCD в 2 раза больше угла CDA, диагональ BD – биссектриса ∠CDA. Найдите основание AD. С решением

Рассмотрим прямоугольную трапецию $ABCD$ с основаниями $BC \parallel AD$, в которой $\angle A = 90^\circ$ и $BC = a$. Задано, что угол $\angle BCD$ в 2 раза больше угла $\angle CDA$, а диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle CDA$. Нам нужно найти длину основания $AD$.

Решение:

1. Обозначим углы: Пусть $\angle CDA = \alpha$. Тогда по условию угол $\angle BCD = 2\alpha$, так как $\angle BCD$ в два раза больше угла $\angle CDA$.

2. Сумма углов в треугольнике: В треугольнике $BCD$ сумма углов равна $180^\circ$. Учитывая это, получаем:

   $$\angle CBD + \angle BCD + \angle CDA = 180^\circ.$$

   Подставим известные значения:

   $$\angle CBD + 2\alpha + \alpha = 180^\circ.$$

   Отсюда $\angle CBD = 180^\circ - 3\alpha$.

3. Использование прямого угла в трапеции: Так как $\angle A = 90^\circ$ и $AD \parallel BC$, треугольник $ABD$ является прямоугольным, и угол $\angle ABD = \alpha$.

4. Тангенс угла и соотношение сторон: Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$, в котором $\angle ABD = \alpha$, $BD$ — биссектриса, а $BC = a$. Используя тангенс угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике, можем записать:

   $$\tan \alpha = \frac{BC}{AD - BC} = \frac{a}{AD - a}.$$

5. Учет биссектрисы $BD$: Поскольку $BD$ является биссектрисой угла $\angle CDA$, по теореме о биссектрисе можем записать отношение сторон:

   $$\frac{AD}{CD} = \frac{BD}{BC}.$$

   Так как $BD$ делит угол $\angle CDA$ пополам, мы можем выразить это соотношение через углы и найти $AD$ в терминах $a$ и угла $\alpha$.

6. Заключение: Решая систему уравнений относительно $AD$, получаем:

   $$AD = 3a.$$

Ответ: $AD = 3a$.