В равнобедренном треугольнике ABC,AB=BC проведена биссектриса CL и AM, пересекающиеся в точке O.На продолжении стороны CB за точку B выбрана точка F.Известно ,что угол ABF=80 градусов.Найдите величину угла AOC в градусах.

Чтобы решить задачу, используем свойства равнобедренного треугольника, биссектрис и геометрические соотношения.

Дано:

1. Треугольник $ABC$ равнобедренный, $AB = BC$.
2. Биссектрисы $CL$ и $AM$ пересекаются в точке $O$.
3. На продолжении стороны $CB$ за точку $B$ выбрана точка $F$.
4. Угол $\angle ABF = 80^\circ$.

Найти угол $\angle AOC$.

Решение:

1. Обозначим основные углы:

   • Треугольник равнобедренный ($AB = BC$), значит, углы при основании равны: $$\angle CAB = \angle ACB = x$$ Угол при вершине: $$\angle ABC = 180^\circ - 2x.$$

2. Угол $\angle ABF$: Точка $F$ лежит на продолжении стороны $CB$, а угол $\angle ABF = 80^\circ$. Угол $\angle FBC$ будет внешним углом для треугольника $ABC$, и он равен:

   $$\angle FBC = \angle ABC = 180^\circ - 2x.$$

   С учетом того, что сумма углов на прямой линии равна $180^\circ$, можно записать:

   $$\angle ABF + \angle FBC = 180^\circ.$$

   Подставляем известное значение $\angle ABF = 80^\circ$:

   $$80^\circ + (180^\circ - 2x) = 180^\circ.$$

   Упрощаем:

   $$80^\circ - 2x = 0 \implies 2x = 80^\circ \implies x = 40^\circ.$$

3. Определим основные углы треугольника: Подставляем значение $x = 40^\circ$:

   $$\angle CAB = \angle ACB = 40^\circ,$$ $$\angle ABC = 180^\circ - 2x = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ.$$

4. Рассмотрим пересечение биссектрис $CL$ и $AM$:

   • Биссектриса $CL$ делит угол $\angle ACB$ пополам: $$\angle ACL = \angle LCB = \frac{\angle ACB}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ.$$
   • Биссектриса $AM$ делит угол $\angle CAB$ пополам: $$\angle CAM = \angle MAB = \frac{\angle CAB}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ.$$

5. Найдем угол $\angle AOC$: Точка $O$ — точка пересечения биссектрис, и известно, что угол между двумя биссектрисами в треугольнике равен:

   $$\angle AOC = 180^\circ - \frac{\angle ABC}{2}.$$

   Подставляем $\angle ABC = 100^\circ$:

   $$\angle AOC = 180^\circ - \frac{100^\circ}{2} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ.$$

Ответ: