Ребро куба abcda1b1c1d1 равно 4. Найдите расстояние между прямыми ab и cc1

Задача заключается в нахождении расстояния между двумя прямыми $AB$ и $CC_1$, где $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — это куб со стороной 4. Рассмотрим пошаговое решение.

Шаг 1. Расположение точек в пространстве

Предположим, что куб находится в пространстве с осями координат $X$, $Y$, и $Z$. Пусть точка $A$ имеет координаты $(0, 0, 0)$, а ребро куба имеет длину 4. Тогда координаты всех остальных вершин будут следующие:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(4, 0, 0)$
• $C(4, 4, 0)$
• $D(0, 4, 0)$
• $A_1(0, 0, 4)$
• $B_1(4, 0, 4)$
• $C_1(4, 4, 4)$
• $D_1(0, 4, 4)$

Прямые $AB$ и $CC_1$ — это отрезки, соединяющие вершины куба, и они расположены на разных параллельных плоскостях.

Шаг 2. Уравнения прямых

1. Прямая $AB$ соединяет точки $A(0, 0, 0)$ и $B(4, 0, 0)$, и имеет уравнение:

   $$\vec{r}_{AB} = (0, 0, 0) + t(4, 0, 0), \quad t \in [0, 1]$$

   где $t$ — параметр, изменяющийся от 0 до 1.

2. Прямая $CC_1$ соединяет точки $C(4, 4, 0)$ и $C_1(4, 4, 4)$, и имеет уравнение:

   $$\vec{r}_{CC_1} = (4, 4, 0) + t(0, 0, 4), \quad t \in [0, 1]$$

   где $t$ — параметр, изменяющийся от 0 до 1.

Шаг 3. Расстояние между прямыми

Чтобы найти расстояние между двумя прямыми, нужно найти перпендикуляр от точки на одной прямой до другой прямой. Для этого используем формулу расстояния между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве:

где:

• $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — произвольные точки на этих прямых,
• $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ — направления прямых.

В нашем случае:

• $\vec{a} = (0, 0, 0)$ — точка на прямой $AB$,
• $\vec{b} = (4, 4, 0)$ — точка на прямой $CC_1$,
• $\vec{v_1} = (4, 0, 0)$