Основания равнобедренной трапеции равны 13 и 23, а её площадь равна 216. найдите периметр трапеции. Если можно, то с чертежом

Для того чтобы найти периметр равнобедренной трапеции с основанием 13, основанием 23 и площадью 216, нам нужно использовать несколько шагов:

1. Обозначения и формула площади
   Пусть основание трапеции $a = 13$ и $b = 23$, высота трапеции $h$ — неизвестна. Площадь трапеции можно выразить через основания и высоту по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$$

   Подставим известные значения:

   $$216 = \frac{1}{2} \cdot (13 + 23) \cdot h$$ $$216 = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot h$$ $$216 = 18h$$ $$h = \frac{216}{18} = 12$$

   То есть высота трапеции $h = 12$.

2. Нахождение боковой стороны
   Обозначим боковую сторону трапеции как $x$. Так как трапеция равнобедренная, боковые стороны одинаковы. Чтобы найти боковую сторону, представим себе, что опустим перпендикуляры из вершин верхнего основания на нижнее основание. Это разделит нижнее основание на три части:

   • Левая часть, равная $x$,
   • Средняя часть — это длина верхнего основания $a = 13$,
   • Правая часть, равная $x$.

   Таким образом, разница между длинами оснований будет равна удвоенной длине одной из частей:

   $$b - a = 23 - 13 = 10$$

   Это расстояние делится пополам на две части по 5, которые будут основаниями прямоугольных треугольников с гипотенузой $x$ (боковой стороной трапеции) и высотой $h = 12$.

   Используем теорему Пифагора для нахождения боковой стороны:

   $$x^2 = 5^2 + 12^2$$ $$x^2 = 25 + 144 = 169$$ $$x = \sqrt{169} = 13$$

3. Периметр трапеции
   Периметр трапеции равен сумме длин всех её сторон. У нас есть два основания $a = 13$ и $b = 23$, и две боковые стороны, каждая из которых равна $x = 13$. Следовательно, периметр $P$ трапеции:

   $$P = a + b + 2x = 13 + 23 + 2 \cdot 13 = 13 + 23 + 26 = 62$$

Ответ: периметр трапеции равен 62.

Если нужно было бы построить чертеж, то он выглядел бы так:

• Верхнее основание длиной 13, нижнее основание длиной 23.
• Высота трапеции равна 12, и боковые стороны (равные) имеют длину 13.
• Прямоугольные треугольники, образующиеся при опускании высоты, будут иметь катеты 5 и 12, а гипотенузы — боковые стороны.