На прямой последовательно отмечены четыре точки A, B, C и D. При этом два отрезка AD и BC расположены так, что их середины совпадают. Найдите длину отрезка BD, если AD = 14 см и BC = 8 см.

Рассмотрим прямую, на которой расположены четыре точки A, B, C и D. Пусть отрезки $AD$ и $BC$ имеют середины, совпадающие в одной точке. Нам нужно найти длину отрезка $BD$, если $AD = 14$ см и $BC = 8$ см.

1. Обозначения и координаты: Пусть на оси $x$ точка $A$ будет иметь координаты $x_A = 0$. Поскольку отрезок $AD$ равен 14 см, точка $D$ будет находиться на расстоянии 14 см от точки $A$, и её координаты будут $x_D = 14$.

2. Условия задачи: Отрезки $AD$ и $BC$ расположены так, что их середины совпадают. Это означает, что среднее положение отрезков $AD$ и $BC$ будет одинаковым.

   • Средняя точка отрезка $AD$ — это точка, которая делит его пополам, то есть её координаты:

     $$M_{AD} = \frac{x_A + x_D}{2} = \frac{0 + 14}{2} = 7.$$

   • Средняя точка отрезка $BC$ — это точка, которая делит его пополам, то есть её координаты:

     $$M_{BC} = \frac{x_B + x_C}{2}.$$

   Поскольку середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, то $M_{AD} = M_{BC}$. Это даёт нам равенство:

   $$\frac{x_B + x_C}{2} = 7.$$

   Умножив обе части на 2, получаем:

   $$x_B + x_C = 14.$$

3. Положение точек $B$ и $C$: Поскольку $BC = 8$ см, разница между координатами точек $B$ и $C$ равна 8 см, то есть:

   $$|x_C - x_B| = 8.$$

   Таким образом, есть два возможных случая для расположения точек $B$ и $C$:

   • $x_C = x_B + 8$ (если точка $C$ расположена правее точки $B$),
   • $x_C = x_B - 8$ (если точка $C$ расположена левее точки $B$).

4. Решение для $x_B$ и $x_C$: Рассмотрим первый случай, когда $x_C = x_B + 8$. Подставим это выражение в уравнение $x_B + x_C = 14$:

   $$x_B + (x_B + 8) = 14 \quad \Rightarrow \quad 2x_B + 8 = 14 \quad \Rightarrow \quad 2x_B = 6 \quad \Rightarrow \quad x_B = 3.$$

   Тогда $x_C = x_B + 8 = 3 + 8 = 11$.

5. Длина отрезка $BD$: Теперь, когда у нас есть координаты точек $B$ и $D$, можем найти длину отрезка $BD$. Точка $D$ имеет координаты 14, а точка $B$ — 3. Следовательно, длина отрезка $BD$ равна:

   $$BD = |x_B - x_D| = |3 - 14| = 11 \text{ см}.$$

Ответ: длина отрезка $BD$