Докажите что ABCD квадрат если A(-3;-4;5) B(-2;0;-3) C(2;7;1) D(1;3;9)

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является квадратом, необходимо проверить несколько условий:

1. Равенство всех сторон. В квадрате все стороны должны быть равны.
2. Прямые углы. В квадрате все углы должны быть прямыми, то есть 90 градусов.

Для начала найдём длины всех сторон, используя формулу расстояния между двумя точками в трёхмерном пространстве:

1. Вычислим длины всех сторон:

• Сторона AB:

  $$AB = \sqrt{(-2 - (-3))^2 + (0 - (-4))^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{(1)^2 + (4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{1 + 16 + 64} = \sqrt{81} = 9$$

• Сторона BC:

  $$BC = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (7 - 0)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{(4)^2 + (7)^2 + (4)^2} = \sqrt{16 + 49 + 16} = \sqrt{81} = 9$$

• Сторона CD:

  $$CD = \sqrt{(1 - 2)^2 + (3 - 7)^2 + (9 - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 + (8)^2} = \sqrt{1 + 16 + 64} = \sqrt{81} = 9$$

• Сторона DA:

  $$DA = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (-4 - 3)^2 + (5 - 9)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-7)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 49 + 16} = \sqrt{81} = 9$$

Мы видим, что все стороны имеют одинаковую длину (9), что соответствует одному из свойств квадрата — равенству сторон.

2. Проверим, что углы между соседними сторонами равны 90 градусам.

Для этого можно использовать скалярное произведение векторов, образующих стороны квадрата. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то угол между ними прямой.

• Вектор AB:

  $$\vec{AB} = (-2 - (-3), 0 - (-4), -3 - 5) = (1, 4, -8)$$

• Вектор BC:

  $$\vec{BC} = (2 - (-2), 7 - 0, 1 - (-3)) = (4, 7, 4)$$