В ромбе ABCD угол DBC=45°. Докажите, что ABCD-квадрат.

Чтобы доказать, что ромб $ABCD$ является квадратом, воспользуемся данными задачи и свойствами ромба и квадрата.

Дано:

• $ABCD$ — ромб.
• Угол $DBC = 45^\circ$.

Требуется доказать:

Ромб $ABCD$ является квадратом.

Доказательство:

1. Рассмотрим свойства ромба:

   • Все стороны ромба равны: $AB = BC = CD = DA$.
   • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.
   • Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

2. Рассмотрим треугольник $BCD$:

   • Поскольку $ABCD$ — ромб, диагонали пересекаются под углом $90^\circ$ и делят углы ромба пополам.
   • Диагональ $BD$ делит угол $BCD$ пополам, следовательно, $\angle CBD = \angle DBC$.

3. Используем данные задачи:

   • По условию задачи угол $DBC = 45^\circ$.
   • Так как диагональ $BD$ делит угол $BCD$ пополам, то $\angle CBD = 45^\circ$ и $\angle DBC = 45^\circ$.

4. Найдём угол $BCD$:

   • Угол $BCD$ равен сумме углов $DBC$ и $CBD$: $$\angle BCD = \angle DBC + \angle CBD = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ.$$
   • Таким образом, угол $BCD = 90^\circ$.

5. Анализ углов ромба:

   • Углы в ромбе напротив друг друга равны, поэтому угол $BAD = BCD = 90^\circ$.
   • Следовательно, все углы в ромбе $ABCD$ равны $90^\circ$.

6. Вывод:

   • Если все углы в ромбе равны $90^\circ$, то ромб является квадратом по определению квадрата (квадрат — это ромб с прямыми углами).

Заключение:

Таким образом, мы доказали, что ромб $ABCD$ с углом $DBC = 45^\circ$ является квадратом.