Сторона квадрата ABCD равна 8 сантиметров . Точка М удалена ну каждой его вершины на 16 сантиметров. А)Найдите длину проекции отрезка МА на плоскость квадрата. Б)расстояние от точки М до плоскости квадрата

Рассмотрим задачу подробно.

Условие:

• Квадрат $ABCD$ лежит в плоскости, и длина его стороны равна 8 см.
• Точка $M$ находится вне плоскости квадрата и удалена от каждой его вершины (точек $A, B, C, D$) на 16 см.

Необходимо найти:

1. Длину проекции отрезка $MA$ на плоскость квадрата.
2. Расстояние от точки $M$ до плоскости квадрата.

Решение:

А) Длина проекции отрезка $MA$ на плоскость квадрата

1. Координаты точек квадрата: Разместим квадрат в плоскости $xOy$, так что его вершины будут:

   $$A(0, 0, 0), \; B(8, 0, 0), \; C(8, 8, 0), \; D(0, 8, 0).$$

2. Координаты точки $M$: Точка $M$ находится на одинаковом расстоянии $16$ см от всех вершин квадрата. Это возможно, если точка $M$ лежит на перпендикуляре, проведённом через центр квадрата $O(4, 4, 0)$, на высоте $z = h$, где $h$ можно определить из условия.

3. Расстояние от точки $M$ до вершины $A$: Для вершины $A(0, 0, 0)$ расстояние от $M(x, y, z)$ до $A$ выражается формулой:

   $$\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 16.$$

   Аналогично для остальных вершин квадрата:

   $$\sqrt{(x-8)^2 + y^2 + z^2} = 16, \quad \sqrt{(x-8)^2 + (y-8)^2 + z^2} = 16, \quad \sqrt{x^2 + (y-8)^2 + z^2} = 16.$$

4. Симметрия задачи: Точка $M$ лежит над центром квадрата $O(4, 4, 0)$, а её координаты будут $M(4, 4, h)$. Подставим в одно из уравнений (например, для вершины $A$):

   $$\sqrt{(4-0)^2 + (4-0)^2 + h^2} = 16.$$

   Раскрываем:

   $$\sqrt{16 + 16 + h^2} = 16.$$ $$32 + h^2 = 256, \quad h^2 = 224$$