Прямоугольная трапеция, боковые стороны которой равны 4 и 5 см, а диагональ является биссектрисой острого угла, вращается вокруг меньшего основания. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении.

Решение:

1. Определение параметров трапеции:

   • Пусть основания трапеции $a$ (меньшее) и $b$ (большее).
   • Высота трапеции — $h$.
   • Боковые стороны — $c = 4$ см и $d = 5$ см.
   • Диагональ является биссектрисой острого угла между основанием $a$ и боковой стороной $c$.

2. Используем условие о биссектрисе: Диагональ делит угол между основанием $a$ и боковой стороной $c$ пополам. По свойству биссектрисы, отношения отрезков, на которые она делит противоположное основание, равны отношениям прилежащих сторон:

   $$\frac{x}{b - x} = \frac{c}{a},$$

   где $x$ — отрезок меньшего основания $a$, на который делит диагональ.

3. Введение дополнительных обозначений и расчет высоты: Высота $h$ трапеции находится из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной $c$, высотой $h$ и частью основания $b - a$:

   $$h^2 + (b - a)^2 = c^2.$$

   Уравнение выражает $h$ через $a$, $b$ и $c$.

4. Определение вращения: При вращении трапеции вокруг меньшего основания $a$, тело, которое образуется, состоит из:

   • усеченного конуса (между боковыми сторонами),
   • полного конуса (в основании меньшей боковой стороны).

5. Формулы для площади поверхности тела вращения: Площадь поверхности тела вращения равна:

   $$S = S_1 + S_2,$$

   где $S_1$ — площадь боковой поверхности усеченного конуса, $S_2$ — площадь основания.

   • Площадь боковой поверхности усеченного конуса:

     $$S_1 = \pi \cdot l_1 \cdot (R_1 + R_2),$$

     где $R_1 = \frac{a}{2}$, $R_2 = \frac{b}{2}$, а $l_1$ — образующая усеченного конуса:

     $$l_1 = \sqrt{h^2 + (R_2 - R_1)^2}.$$

   • Площадь основания:

     $$S_2 = \pi R_1^2.$$

6. Вычисления: Подставляя данные задачи:

   • $c = 4$, $d = 5$, найдите $a$ и $b$ из соотношения биссектрисы.
   • Вычислите $h$ через $c$, $d$, $b - a$.
   • Найдите радиусы $R_1$ и $R_2$, образующую $l_1$.

7. Ответ: После подстановки всех значений в формулы, результат вычислений даст площадь поверхности тела вращения. Если требуется, можно уточнить вычисления численно для данной трапеции.