На сторонах BC и AD прямоугольника ABCD выбраны соответственно точки M и N так, что AMCN - ромб. Найдите сторону ромба если AD=18 см, угол ADB= 30

Задача требует нахождения стороны ромба $AMCN$, который вписан в прямоугольник ABCD. Для этого нужно использовать данные о прямоугольнике и ромбе.

1. Понимание геометрии прямоугольника: Пусть прямоугольник ABCD имеет следующие координаты:

   • $A(0, 0)$
   • $B(a, 0)$
   • $C(a, b)$
   • $D(0, b)$

   Из условия задачи, нам известно, что $AD = 18$ см. Так как это прямоугольник, то $AD = b$, то есть $b = 18$ см.

2. Местоположение точек M и N: Точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $BC$ и $AD$ соответственно, а их соединение образует ромб $AMCN$, что значит, что все его стороны равны. Кроме того, из задачи известно, что угол $ADB = 30^\circ$.

3. Использование угла $ADB$: Угол $ADB$ — это угол между векторами $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{BD}$. Напоминаем, что:

   • Вектор $\overrightarrow{AD} = (0, 18)$,
   • Вектор $\overrightarrow{BD} = (a, 18)$.

   Для вычисления угла между этими векторами воспользуемся формулой скалярного произведения:

   $$\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AD}| |\overrightarrow{BD}|}$$

   Скалярное произведение:

   $$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BD} = 0 \cdot a + 18 \cdot 18 = 324.$$

   Длины векторов:

   $$|\overrightarrow{AD}| = 18, \quad |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{a^2 + 18^2} = \sqrt{a^2 + 324}.$$

   Подставляем в формулу для косинуса угла:

   $$\cos(30^\circ) = \frac{324}{18 \cdot \sqrt{a^2 + 324}}.$$

   Так как $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем уравнение:

   $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{324}{18 \cdot \sqrt{a^2 + 324}}.$$

   Упростим уравнение:

   $$\sqrt{3} = \frac{36}{\sqrt{a^2 + 324}}.$$

   Возводим обе части в квадрат:

   $$3 = \frac{1296}{a^2 + 324}.$$

   Умножаем на $a^2 + 324$:

   $$3(a^2 + 324) = 1296,$$ $$3a^2 + 972 = 1296,$$