В ромбе MPHK диагонали пересекаются в точке O. На сторонах MK, KH, PH взяты точки A, B, C соответственно, AK=KB=PC. Докажите, что OA=OB, и найдите сумму углов POC и MOA. И рисунок если можно.

Решение задачи:

Доказательство равенства $OA = OB$

1. Свойства ромба: В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами углов. Пусть диагонали ромба $MPHK$ пересекаются в точке $O$, деля друг друга пополам.

2. Положение точек $A, B, C$:

   • Точка $A$ находится на стороне $MK$, причем $AK = KB$. Значит, $A$ является серединой стороны $MK$.
   • Точка $B$ находится на стороне $KH$, причем $BK = KB$. Значит, $B$ — середина стороны $KH$.
   • Точка $C$ находится на стороне $PH$, причем $PC = CK$. Таким образом, $C$ — середина стороны $PH$.

3. Координатный метод:

   • Расположим ромб в координатной системе так, чтобы точка $O$ находилась в начале координат. Пусть вершины ромба: $$M = (-a, 0), \quad P = (a, 0), \quad H = (0, b), \quad K = (0, -b).$$
   • Точки $A, B, C$:
     • $A$ — середина $MK$, её координаты $A = (-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2})$.
     • $B$ — середина $KH$, её координаты $B = (0, 0)$.
     • $C$ — середина $PH$, её координаты $C = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$.

4. Расстояния $OA$ и $OB$:

   • $OA = \sqrt{\left(-\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(-\frac{b}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$.
   • $OB = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0$.

5. Таким образом, $OA = OB$.

Сумма углов $\angle POC$ и $\angle MOA$

1. Угол $\angle POC$: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, значит $\angle POC = 90^\circ$.

2. Угол $\angle MOA$: Точки $M, O, A$ лежат на одной прямой. Так как $A$ находится на стороне $MK$, делящей угол пополам, то $\angle MOA = 45^\circ$.

3. Сумма углов:

   $$$$