Периметр треугольника равен 48 см. Разделив каждую сторону треуголтёьника на 4 равные части, соединим точки деления отрезками, параллельными соответствующим сторонам
треугольника Найдите сумму длин всех этих отрезков

Давайте разберем задачу пошагово. У нас есть треугольник, периметр которого равен 48 см. Для решения определим, что происходит, если каждую сторону треугольника разделить на 4 равные части и соединить точки деления отрезками, параллельными сторонам треугольника.

1. Длины сторон треугольника

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$, а их сумма — это периметр:

Точные значения $a$, $b$, и $c$ нам не известны, но для решения это не потребуется, так как расчет длины параллельных отрезков не зависит от абсолютных длин сторон, а только от их деления на равные части.

2. Деление сторон на 4 равные части

Каждую сторону треугольника делим на 4 равные части. Длина одной части для каждой стороны:

Соединяя точки деления, мы получаем треугольник меньшего размера внутри исходного треугольника. Кроме того, образуются дополнительные параллельные отрезки внутри треугольника.

3. Параллельные отрезки

Отрезки, которые параллельны сторонам треугольника, образуются следующим образом:

1. На первом уровне внутри большого треугольника образуется треугольник, подобный исходному. Его стороны делятся в отношении $3:4$ к сторонам исходного треугольника, потому что они находятся на расстоянии $\frac{3}{4}$ высоты от вершины. Длины сторон этого треугольника:

2. На втором уровне внутри треугольника образуется треугольник, стороны которого делятся в отношении $2:4 = 1:2$ к исходному. Его стороны:

3. На третьем уровне образуется треугольник, стороны которого составляют $\frac{1}{4}$ от сторон исходного. Длины сторон:

4. Сумма длин всех параллельных отрезков

Теперь находим общую сумму длин всех отрезков, параллельных сторонам треугольника. Для каждой из сторон $a$, $b$, $c$, складываем длины параллельных отрезков:

Для $a$:

Для $b$:

Для $c$:

Суммируем длины для всех трех сторон:

Подставляем $a + b + c = 48 \, \text{см}$:

Ответ

Сумма длин всех параллельных отрезков равна 72 см.