ABCD- квадрат ,диагонали которого пересекаются в точке E.AH- перпендикуляр к плоскости квадрата.Докажите ,что прямые HE и BD перпендикуляры

Чтобы доказать, что прямые $HE$ и $BD$ перпендикулярны, рассмотрим следующее:

Условие задачи:

• $ABCD$ — квадрат с диагоналями, пересекающимися в точке $E$.
• $AH$ — перпендикуляр к плоскости квадрата, выходящий из вершины $A$.

Доказательство:

1. Свойства квадрата:

   • Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом, деля друг друга пополам.
   • В точке пересечения диагоналей $E$ создаётся прямоугольная система координат для плоскости квадрата.

2. Положение точки $H$: Точка $H$ находится на перпендикуляре $AH$ к плоскости квадрата. Следовательно:

   • Прямая $AH$ перпендикулярна любой прямой в плоскости квадрата, включая $BD$, поскольку $BD \subset (ABCD)$.

3. Рассмотрим прямую $HE$:

   • $HE$ соединяет точку $H$ с точкой пересечения диагоналей квадрата $E$.
   • $HE$ находится в пространстве и может быть представлена вектором $\vec{HE}$.

4. Проверка взаимной перпендикулярности $HE$ и $BD$:

   • Диагональ $BD$ лежит в плоскости квадрата. Вектор $\vec{BD}$ можно представить в плоскости $xOy$, если квадрат $ABCD$ расположен в координатной системе с центром в $E$.
   • Вектор $\vec{HE}$, по условию, направлен из точки $H$, находящейся вне плоскости квадрата, к точке $E$ (пересечению диагоналей), и проходит по вертикали к плоскости.

5. Основной аргумент: Так как $AH$ перпендикулярна всей плоскости квадрата, то любая прямая, проходящая через $H$ и точку на плоскости квадрата, будет перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая диагональ $BD$. Следовательно, вектор $\vec{HE}$ ортогонален вектору $\vec{BD}$, что доказывает перпендикулярность прямых $HE$ и $BD$.

Вывод:

Прямые $HE$ и $BD$ перпендикулярны, так как $HE$ проходит по вертикали (выходит из точки $H$, расположенной вне плоскости квадрата), а $BD$ является диагональю, лежащей в этой плоскости.