Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, бічне ребро якої дорівнює 9 см, а висота - 6 см

Щоб знайти площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, потрібно визначити площу кожної з її бічних граней і скласти їх разом. Оскільки піраміда правильна, її основа є правильним трикутником, а всі бічні грані — однакові рівнобедрені трикутники.

1. Дано:

   • Бічне ребро піраміди $s = 9 \, \text{см}$,
   • Висота піраміди $h = 6 \, \text{см}$.

2. Знаходимо висоту бічної грані (апофему):

   Бічна грань піраміди є рівнобедреним трикутником. Висота піраміди $h$ опускається з вершини піраміди на центр основи, поділяючи її на три рівні частини.

   Основу піраміди утворює правильний трикутник. Висота правильного трикутника зі стороною $a$ обчислюється за формулою:

   $$h_{\text{основи}} = \frac{\sqrt{3}}{2}a.$$

   Радіус вписаного кола правильного трикутника (відстань від центра основи до її сторін) обчислюється як:

   $$r = \frac{h_{\text{основи}}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}a.$$

   Апофема (висота бічної грані) утворює прямокутний трикутник, у якому:

   • гіпотенуза — бічне ребро $s$,
   • одна катет — радіус вписаного кола $r$,
   • друга катет — шукане значення апофеми.

   Отже, апофема:

   $$l = \sqrt{s^2 - r^2}.$$

3. Обчислення площі однієї бічної грані:

   Площа бічної грані $S_{\text{грань}}$ дорівнює половині добутку довжини основи $a$ і висоти $l$:

   $$S_{\text{грань}} = \frac{1}{2}a \cdot l.$$

4. Загальна площа бічної поверхні:

   Оскільки бічних граней три, загальна площа бічної поверхні:

   $$S_{\text{бічна}} = 3 \cdot S_{\text{грань}} = \frac{3}{2}a \cdot l.$$

Покрокове розв’язання

1. Знайдемо сторону основи $a$: Для правильної трикутної піраміди зі стороною основи $a$ формула радіуса $r$ вписаного кола: $$r = \frac{\sqrt{3}}{6}a.$$ Задаємо висоту $h$: $$H^a$$

Давайте завершимо розв'язок докладно.

Крок 1: Зв'язок висоти піраміди з основою

Висота піраміди $h = 6 \, \text{см}$ є відстанню від вершини піраміди до центра основи, яка є правильним трикутником зі стороною $a$. Центр основи — це центр кола, вписаного в трикутник, радіус якого:

Кут між висотою піраміди, радіусом кола, і бічним ребром утворює прямокутний трикутник. Для нього:

Підставимо $r$ у формулу:

Крок 2: Висота бічної грані (апофема)

Для визначення апофеми $l$, використовуємо трикутник, де:

• гіпотенуза $s = 9$,
• одна катет — радіус вписаного кола $r = \frac{\sqrt{3}}{6}a = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot 6\sqrt{15} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$