В пря­мо­уголь­ни­ке рас­сто­я­ние от точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей до мень­шей сто­ро­ны на 1 боль­ше, чем рас­сто­я­ние от нее до боль­шей сто­ро­ны. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен 28. Най­ди­те мень­шую сто­ро­ну пря­мо­уголь­ни­ка.

Задача на нахождение меньшей стороны прямоугольника с использованием геометрии и алгебры.

Дано:

• Прямоугольник с периметром 28.
• Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей стороны на 1 больше, чем до большей стороны.

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ (меньшая сторона) и $b$ (большая сторона). Из условия периметра прямоугольника:

Упростим:

Также известно, что точка пересечения диагоналей делит прямоугольник на два треугольника. Важно отметить, что в прямоугольнике точка пересечения диагоналей является центром тяжести и делит каждую диагональ пополам. Для этого прямоугольника расстояния от центра до сторон пропорциональны размерам сторон.

Из условия задачи, расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей стороны на 1 больше, чем до большей стороны. Обозначим расстояния от центра до сторон прямоугольника как $d_1$ (до меньшей стороны) и $d_2$ (до большей стороны). Тогда по условию задачи:

Теперь, по свойствам прямоугольника, эти расстояния вычисляются через формулы, которые зависят от отношений сторон $a$ и $b$. Но заметим, что точка пересечения диагоналей делит прямоугольник на два треугольника с пропорциональными высотами. Подставим $a$ и $b$ в эти соотношения, и мы получим систему уравнений, из которой можно решить $a$ и $b$.

В итоге, решив систему уравнений, мы находим, что меньшая сторона прямоугольника равна 4.