В трапеции АВСD ∠A = 90°, ∠D = 45°, BC = 6 см, AB = 14 см. Найдите AD. Ответ дайте в сантиметрах.
​

Давайте разберем задачу подробно.

У нас есть трапеция $ABCD$ с прямым углом $\angle A = 90^\circ$ и углом $\angle D = 45^\circ$. Также даны длины:

• $BC = 6 \, \text{см}$,
• $AB = 14 \, \text{см}$.

Нужно найти длину боковой стороны $AD$.

Разбор задачи:

1. Построение трапеции: Трапеция $ABCD$ имеет прямой угол при вершине $A$. Пусть $AB$ — верхнее основание, а $BC$ — боковая сторона, перпендикулярная $AB$. Угол при вершине $D$ равен $45^\circ$. $CD$ — нижнее основание, а $AD$ — боковая сторона, которую нам нужно найти.

2. Расположение углов:

   • Угол $\angle A = 90^\circ$, поэтому $AD$ перпендикулярно $AB$.
   • Угол $\angle D = 45^\circ$, следовательно, $\triangle ACD$ является прямоугольным, а $\angle CAD = 45^\circ$.

3. Свойства прямоугольного треугольника с углом $45^\circ$: Если один из углов прямоугольного треугольника равен $45^\circ$, то катеты равны, т.е. $AD = AC$.

4. Нахождение $AC$: Основание $CD$ можно представить как $CD = AB + BC$ (так как $AB \parallel CD$, а $BC \perpendicular AB$). Тогда:

   $$CD = AB + BC = 14 + 6 = 20 \, \text{см}.$$

   В прямоугольном треугольнике $\triangle ACD$, где $\angle CAD = 45^\circ$, выполняется:

   $$AC = AD.$$

   Кроме того, гипотенуза $CD$ связана с катетами следующим образом (по теореме Пифагора):

   $$CD = AC \cdot \sqrt{2}.$$

   Подставляем $CD = 20 \, \text{см}$ и находим $AC$:

   $$20 = AC \cdot \sqrt{2}.$$

   Отсюда:

   $$AC = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \, \text{см}.$$

5. Длина $AD$: Поскольку $AC = AD$, то:

   $$AD = 10\sqrt{2} \, \text{см}.$$

Ответ: