Дано: Прямоугольная трапеция АВСД, ВС=3см АВ=4см, угол В-150 градусов. Найти АД и СД, S- АВСД

Давайте решим задачу поэтапно.

У нас есть прямоугольная трапеция $ABCD$, где:

• $BC = 3 \, \text{см}$ (основание),
• $AB = 4 \, \text{см}$ (боковая сторона),
• угол $\angle B = 150^\circ$ (угол между основаниями).

Нам нужно найти:

• длины $AD$ и $CD$ (другие стороны трапеции),
• площадь $S$ трапеции.

Шаг 1: Определение длины $CD$ и $AD$

Поскольку трапеция прямоугольная, то угол $\angle DAB = 90^\circ$, и прямые $AB$ и $AD$ перпендикулярны. Это важно для определения взаимного расположения сторон.

1. Найдем координаты точек.

   Допустим, точку $B$ расположим в начале координат: $B(0, 0)$.

   Так как угол $\angle B = 150^\circ$, то линия $AB$ наклонена относительно горизонтали на 150° (или -30°, если считать от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки).

   Пусть точка $A$ имеет координаты $(x_1, y_1)$. Тогда, используя тригонометрию, можно найти координаты точки $A$, учитывая угол наклона и длину отрезка $AB = 4$ см:

   • $x_1 = AB \cdot \cos(150^\circ) = 4 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2\sqrt{3}$,
   • $y_1 = AB \cdot \sin(150^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.

   Таким образом, точка $A$ имеет координаты $(-2\sqrt{3}, 2)$.

2. Теперь найдём координаты точки $D$.

   Поскольку трапеция прямоугольная, и линия $AD$ перпендикулярна линии $AB$, то $D$ будет расположена по вертикали относительно $A$, то есть с тем же абсциссой, но другой ординатой. Таким образом, координаты точки $D$ будут $(-2\sqrt{3}, 0)$.

3. Найдем длину стороны $CD$.

   Теперь, чтобы найти длину стороны $CD$, используем формулу для расстояния между двумя точками на плоскости:

   $$CD = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2}.$$

   Здесь $C = (0, 3)$, так как точка $C$ лежит на оси абсцисс с абсциссой 0, а ординатой 3 см (по заданию). Точка $D = (-2\sqrt{3}, 0)$.

   Подставим координаты:

   $$CD = \sqrt{((-2\sqrt{3}) - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{12 + 9} = \sqrt{21}.$$

   Таким образом, длина $CD = \sqrt{21} \approx 4,58 \, \text{см}$.

4. Найдем длину стороны $AD$.

   Длина стороны $AD$ равна ординате точки $A$, то есть $AD = 2 \, \text{см}$.

Шаг 2: Площадь трапеции

Площадь трапеции можно найти по формуле: