Основанием треугольной пирамиды служит прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и острым углом 45 градусов. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 3 см.

Для того чтобы найти объем треугольной пирамиды, нужно использовать следующую формулу:

где:

• $V$ — объем пирамиды,
• $S_{\text{осн}}$ — площадь основания пирамиды (в данном случае это прямоугольный треугольник),
• $h$ — высота пирамиды (она уже дана — 3 см).

Шаг 1. Найдем площадь основания пирамиды

Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и одним острым углом 45 градусов. Нам нужно найти площади этого треугольника. Для начала, рассмотрим свойства треугольника:

1. В прямоугольном треугольнике с углом 45° два катета равны между собой.

2. Если гипотенуза $c = 8$ см, то каждый катет можно найти с помощью теоремы Пифагора:

   $$c = a \sqrt{2}$$

   где $a$ — длина катета. Тогда, чтобы найти $a$, нужно решить:

   $$8 = a \sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$$

   Таким образом, длина каждого катета треугольника составляет $4\sqrt{2}$ см.

3. Площадь основания треугольника $S_{\text{осн}}$ вычисляется по формуле для площади прямоугольного треугольника:

   $$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$

   где $a = b = 4\sqrt{2}$ см. Подставляем значения:

   $$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 2 = 16 \, \text{см}^2$$

Шаг 2. Найдем объем пирамиды

Теперь, когда мы знаем площадь основания, можем вычислить объем пирамиды. Для этого подставим в формулу значения:

Ответ:

Объем пирамиды равен 16 см³.