Найдите длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 18 см, и длину дуги, соответствующей стороне треугольника.

Для того чтобы найти длину окружности, описанной около правильного треугольника, и длину дуги, соответствующей одной из его сторон, нужно последовательно выполнить несколько шагов.

1. Длина окружности, описанной около правильного треугольника

Правильный треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны. Окружность, описанная около правильного треугольника, будет иметь свой центр в точке пересечения его медиан, и радиус этой окружности можно вычислить через сторону треугольника.

Для правильного треугольника радиус описанной окружности $R$ можно выразить через сторону треугольника $a$ по формуле:

В нашем случае сторона треугольника $a = 18$ см.

Подставляем в формулу:

Теперь, чтобы найти длину окружности, нужно воспользоваться формулой для длины окружности:

Подставляем значение радиуса:

Итак, длина окружности, описанной около правильного треугольника, составляет примерно 65.2 см.

2. Длина дуги, соответствующей одной стороне треугольника

Длина дуги окружности, соответствующей одной из сторон правильного треугольника, вычисляется через центральный угол, который она subtends (образует) в центре окружности. Для правильного треугольника этот угол равен $120^\circ$, так как угол между любыми двумя радиусами окружности, проведёнными к концам одной из её сторон, составляет $120^\circ$ (в сумме все углы вокруг центра — 360°, а треугольников три, каждый из которых имеет угол $120^\circ$).

Длину дуги можно вычислить по формуле:

где $\alpha$ — центральный угол, равный $120^\circ$, а $R$ — радиус окружности, который мы уже нашли и равен примерно 10.39 см.

Подставляем данные:

Таким образом, длина дуги, соответствующей одной из сторон треугольника, составляет примерно 21.73 см.

Итог

1. Длина окружности, описанной около правильного треугольника, составляет примерно 65.2 см.
2. Длина дуги, соответствующей одной из сторон треугольника, составляет примерно 21.73 см.